テイラー展開(マクローリン展開)

任意の回数微分可能な関数f(x)について

$$ \begin{eqnarray*}
f(x)&=&f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f”(a)}{2!}(x-a)^{2}+ \cdots +\frac{f^{(n)}
(a)}{n!}(x-a)^{n}+ \cdots \\
&=&\sum^{∞}_{n=0}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}
\end{eqnarray*} $$

と展開できるものを、f(x)のx=aにおけるテイラー展開と呼ぶ。

特にa=0(原点近傍)の時、,マクローリン展開と呼ぶ。

$$ \begin{eqnarray*}
f(x)&=&f(0)+f^{\prime}(0)(x)+\frac{f”(0)}{2!}(x)^{2}+ \cdots +\frac{f^{(n)}
(0)}{n!}(x)^{n}+ \cdots \\
&=&\sum^{∞}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^{n}
\end{eqnarray*} $$

簡単のため、ここではマクローリン展開のみを扱う。

<例題>

以下の関数を原点近傍でテイラー展開せよ. ただし, 3の項まで計算せよ.※(3)は難易度高め

$$ (1)\,\,\,\frac{1}{1-x}\,\,\,\,\,\, (2)\,\,\,\sqrt{1+x}\,\,\,\,\,\,(3)\,\,\,\sqrt{1+x+x^{2}}$$

<解答>はここをクリック

$ \displaystyle
(1)\,\,\,f(x)=(1-x)^{-1},\,\,\,f'(x)=1・(1x)^{-2},\,\,\,f”(x)=2!・(1-x)^{-3},
\\\,\,\,\,\,\,
f^{(3)}(x)=3!・(1-x)^{-4},\,\,\,f(0)=1,\,\,\,f'(0)=1,
,\,\,\,f”(0)=2!
\\\,\,\,\,\,\,f^{(3)}(0)=3!\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,∴\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots
$

$ (2)\,\,\,f(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}},\,\,\,f'(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{-1}{2}},\,\,\,f”(x)=-\frac{1}{4}(1+x)^{\frac{-3}{2}}\\\,\,\,
f^{(3)}(x)=\frac{3}{8}(1+x)^{\frac{-5}{2}},\,\,\,f(0)=1,\,\,\,f'(0)=\frac{1}{2},\,\,\,f”(0)=-\frac{1}{4},\,\,\,f^{(3)}(0)=\frac{3}{8}
\\\,\,\,∴\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{16}x^{3}-\cdots
$

$ (3)\,\,\,\sqrt{1+(x+x^{2})}より(2)をx→x+x^{2}に置き換えて
$

$$ \begin{eqnarray*}
\\\,\,\,\sqrt{1+(x+x^{2})}&=&1+\frac{1}{2}(x+x^{2})-\frac{1}{8}
(x+x^{2})^{2}+\frac{1}{16}(x+x^{2})^{3}-\cdots
\\&=&1+\frac{1}{2}(x+x^{2})-\frac{1}{8}(x^{2}+2x^{3}+x^{4})+\frac{1}{16}(x^{3}+3x^{4}+3x^{5}+x^{6})-\cdots
\\&=&1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{16}x^{3}+(\frac{1}{8}x^{4}+\frac{3}{16}x^{4}+\frac{3}{16}x^{5}+\frac{1}{16}x^{6})-\cdots
\\&=&1+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^{2}-\frac{3}{16}x^{3}+\cdots
\end{eqnarray*}
$$

(補足)

(1),(2)の近似をグラフに表すと以下のようになる.

次数の増加により, 原点近傍(|x| < 1)において近似した関数(赤点線)が元の関数(青線)に近づくことが分かる.