(1)任意の(> 0)に対して
\(0 < |x − 1| < δ ⇒ |f(x) − (−1)| < ε …①\) となるδ(> 0)を見つければよい.
\(|f(x) − (−1)| = |−x^{3} + 3x^{2} − 3x + 1| = |−(x − 1)|^{3} = |(x − 1)|^{3} < δ^{3} ≤ ε\)
ここで, \(δ = ε^\frac{1}{3}\)ととると, ①を満たす.
よって, が1に近づくとき, f(x)は−1に収束する.
(補足) 具体的に値を入れて計算し, グラフに落とし込んでみると理解が深まる.
例えば, ε = 0.1とすると, \(δ = ε^\frac{1}{3}=(0.1)^\frac{1}{3}\)
(2)任意の(> 0)に対して
\(0 < |x + 1| < δ ⇒ |x^{3} + 1| < ε\)となるδ(> 0)を見つければよい.
\(0 < |x + 1| <δ\)ならば
\(|x^{3} + 1| = |(x + 1)(x^{2} − x + 1)| ≤ |x + 1|(|x^{2}| + |x| + 1) < δ^{3} + 3δ^{2} + 3δ\)
(三角不等式:|x + y| ≤ |x| + |y|を用いた)
ここで,\(δ=\frac{ε}{7}∧ 1\)と選ぶと(∧は２つのうち小さい方を選ぶという意味)
(i)\(ε≤7 ならば δ=\frac{ε}{7}\)で
\(|x^{3} + 1| < δ^{3} + 3δ^{2} + 3δ < 7δ = ε\)
(εに応じたδを選ぶため7δ = εのように「=」で結ばれている)
(ⅱ) ε ≥ 7 ならば, δ = 1 で
\(|x3 + 1| < 3 + 32 + 3 = 7 ≤ε \)
(7 ≤ εのように≤となるのは, εは大きくとれるけどδは1で固定であるため)
よってδは存在したので,xが-1に近づくとき,f(x)は-1に収束する.
三角不等式を用いた変形の補足
$$|x^{3} + 1| = |(x + 1)(x^{2} − x + 1)| = |x + 1||x^{2} − x + 1|
\\≤ |x + 1|(|x^{2}| + |x| + 1) (∵三角不等式)
$$
$$
|x + 1| < δ ⇔ −1 − δ < x < −1 + δ \\ここで, |−1 − δ| > | − 1 + δ|より
\\大きさは −1 − δ のほうが大きいのでこちらをxに代入する
$$
$$
< δ{(δ + 1)^{2} + δ + 1 + 1}
\\= δ^{3} + 3δ^{2} + 3δ(=ε )
$$
$$
ここで,δ =1を代入するとε=7であるから,δ=\frac{ε}{7}∧1とする.$$
※−1 + δを選んで計算しても上式と同じ形に導くことはできるが, 意味合いとして
−1 − δをとったほうが境目の考え方として正しい(グラフに描くとわかる)
(補足)
(ⅰ)ε =0.7とすると,\(δ=\frac{ε}{7}=0.1\)
εが小さくなる場合は, それに応じたδを選ぶ必要がある.
(ⅱ) ε = 10とすると, δ = 1
εが大きくなる場合はすべてδ = 1で条件を満たす.
(ⅲ) ε = 7とすると, δ = 1 (境目について)
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